ビジネスで初対面のとき、握手と名刺交換から始まることが多いです。相手から名刺をもらったのに、自分は持ち合わせがないと困るものです。それでは、次の文章を英語にしてください。
◎すみません、名刺を切らしてしまいまして。

回答は次の通りです。
◎Sorry, I have run out of business cards.

名刺は、business card と言います。よく、name card と言う人がいますが、それだと名札という意味になってしまいます。
使い切ってなくなるという意味で、run out of ~
不足しているという意味では、run short of ~ を使います。

なお、相手にメールを送って知らせると伝えれば、なんとかその場をしのげます。
◎後ほど電子メールで名刺の情報をお伝えさせてください。
◎Let me inform you of my business card information later by e-mail.

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